Для нахождения длины высоты DН находим сначала координаты вектора, соединяющего точки D и точку H.

Координаты точки H можно найти, используя уравнение прямой, проходящей через точки A, B и C.

Сначала находим вектор a, который параллелен прямой AB:
a = (2-4, 2+3, 3+2) = (-2, 5, 5)

Затем находим вектор b, который параллелен прямой AC:
b = (2-4, -2+3, -3+2) = (-2, 1, -1)

Находим векторное произведение векторов a и b, чтобы найти вектор нормали к плоскости, проходящей через точки A, B и C:
n = a x b = i(-5) - j(-10) + k(0) = 5i + 10j

Уравнение плоскости:
5(x-4) + 10(y+3) = z+2
5x - 20 + 10y + 30 = z + 2
5x + 10y - z - 32 = 0

Теперь найдем точку H, которая принадлежит прямой HD и плоскости, проходящей через точки A, B и C.
Подставим координаты точки D (-1, -2, 3) в уравнение плоскости:
5(-1) + 10(-2) - 3 - 32 = 0
-5 - 20 - 35 = 0
-60 = 0

Точка H (-1, -2, 3) принадлежит плоскости, проходящей через точки A, B и C.

Длина отрезка DH:
DН = √((-1-4)² + (-2+3)² + (3+2)²) = √(25 + 1 + 25) = √51 ≈ 7.14

Таким образом, длина высоты DН равна примерно 7.14.