Для того чтобы найти основание равнобедренного треугольника, зная угол при основании и площадь, нужно использовать следующую формулу:

(S = \frac{1}{2}ab\sin C),

где (S) - площадь треугольника, (a) - основание треугольника, (b) - высота треугольника, (C) - угол при основании.

В данном случае у нас задан угол при основании (C = 30^\circ ), площадь (S). Мы можем также заметить, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины угла при основании, является биссектрисой и медианой, а также ортоперпендикуляром к основанию.

Из свойств равнобедренного треугольника мы знаем, что угол между основанием и биссектрисой равен (90^\circ - \frac{C}{2} = 60^\circ). Таким образом, для нахождения высоты (b) можем воспользоваться тригонометрическими функциями:

(\sin 60^\circ = \frac{b}{a} \Rightarrow b = a \sin 60^\circ = a \frac{\sqrt{3}}{2}).

Подставив это значение в формулу для площади, можем выразить основание (a):

(S = \frac{1}{2}a \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}).

Зная площадь (S), можем выразить основание (a):

(a^2 = \frac{4S}{\sqrt{3}}),

(a = \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}).

Таким образом, основание равнобедренного треугольника с углом при основании (30^\circ) и известной площадью можно найти по формуле (a = \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}).