Для нахождения значения производной функции в точке (x_0 = 1) нам необходимо сначала найти производную функции (f(x) = \frac{e^x}{x}).

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного и правилом дифференцирования произведения:

[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{e^x}{x} \right) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2} ]

Теперь подставим значение (x_0 = 1) в эту производную:

[ f'(1) = \frac{e^1(1-1)}{1^2} = \frac{e^1 \cdot 0}{1} = 0 ]

Итак, значение производной функции (f(x) = \frac{e^x}{x}) в точке (x_0 = 1) равно 0.