Для того чтобы найти уравнение прямой высоты АН, проведенной из вершины A, нужно использовать уравнение прямой в общем виде y = kx + b и точку А(12;1).

Найдем уравнение прямой, проходящей через точку А(12;1) и перпендикулярной стороне ВС треугольника.
Сначала найдем угловой коэффициент k стороны ВС, который равен (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1; y1) = B(3; -3) и (x2; y2) = C(6; 9):
k = (9 - (-3)) / (6 - 3) = 12 / 3 = 4

Так как прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная стороне ВС, перпендикулярна к ней, то угловой коэффициент прямой, проведенной из вершины А и перпендикулярной к стороне ВС, будет равен -1/k = -1/4.

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку А(12;1) с угловым коэффициентом -1/4:
y = -1/4 * x + b

Подставим координаты точки А(12;1):
1 = -1/4 * 12 + b
1 = -3 + b
b = 4

Таким образом, уравнение прямой высоты АН, проведенной из вершины A, имеет вид y = -1/4x + 4.

Длина высоты АН можно найти, используя формулу для расстояния между точкой и прямой:
d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2),
где уравнение прямой в общем виде Ax + By + C = 0.

Преобразовываем уравнение y = -1/4x + 4 в общий вид Ax + By + C = 0:
1/4x + y - 4 = 0
1/4x + y - 4 = 0
1x + 4y - 16 = 0

Теперь по формуле находим расстояние d от точки A(12;1) до прямой высоты АН:
d = |1 12 + 4 1 - 16| / sqrt(1^2 + 4^2) = |12 + 4 - 16| / sqrt(1 + 16) = 0 / sqrt(17) = 0

Высота АН равна 0, что означает, что прямая высоты АН проходит через точку A(12;1) и перпендикулярна стороне ВС треугольника.