1.2. СТРОЕНИЕ ГРУПП. Пусть Ai = 〈S_i 〉, где i ∈ (1,n) ̅ – подгруппы абелевой группы (G; +). Доказать равенство A1 + . . . + An = 〈S_1 ∪ ...∪ S_n 〉.
1.2. СТРОЕНИЕ ГРУПП. Пусть Ai = 〈S_i 〉, где i ∈ (1,n) ̅ – подгруппы абелевой группы (G; +). Доказать равенство A1 + . . . + An = 〈S_1 ∪ ...∪ S_n 〉.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала заметим, что S_1 ∪ ... ∪ S_n содержится в A1 + ... + An, так как каждая подгруппа Ai содержит S_i, а следовательно содержит и их объединение.
Докажем теперь обратное включение: пусть x ∈ A1 + ... + An. Тогда существуют элементы a1 ∈ A1, ..., an ∈ An такие, что x = a1 + ... + an. Поскольку Ai = 〈S_i 〉, мы можем представить каждый элемент из Ai как линейную комбинацию элементов из S_i, то есть a_i = k_i1s_i1 + ... + k_ims_im, где k_ij ∈ Z, s_ij ∈ S_i.
Тогда x = a1 + ... + an = k11s11+...+k1ms1mk_11s_11 + ... + k_1ms_1mk1 1s1 1+...+k1 ms1 m + ... + kn1sn1+...+knmsnmk_n1s_n1 + ... + k_nms_nmkn 1sn 1+...+kn msn m = k_11s_11 + ... + k_nms_nm
Таким образом, элемент x представляется в виде линейной комбинации элементов из объединения множеств S_i, то есть x ∈ 〈S_1 ∪ ... ∪ S_n 〉.
Следовательно, A1 + ... + An = 〈S_1 ∪ ... ∪ S_n 〉, что и требовалось доказать.