Для нахождения производной функции $\sqrt{x^5}+3\sqrt{x}$ нужно использовать правило дифференцирования сложной функции.

Пусть $f(x)=\sqrt{x^5}$ и $g(x)=3\sqrt{x}$.

Тогда производная функции $f(x)$ равна:

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^5}}\cdot \frac{d(x^5)}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x^5}}\cdot 5x^4=\frac{5x^4}{2x^{\frac{5}{2}}}=\frac{5}{2}{x}^{\frac{3}{2}}$.

И производная функции $g(x)$ равна:

$g^{\prime }(x)=3\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$.

Теперь найдем производную функции $\sqrt{x^5}+3\sqrt{x}$:

$(\sqrt{x^5}+3\sqrt{x}{)}^{\prime }=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)=\frac{5}{2}{x}^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{5}{2}{x}^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2\sqrt{x}}$.

Таким образом, производная функции $\sqrt{x^5}+3\sqrt{x}$ равна $\frac{5}{2}{x}^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2\sqrt{x}}$.