Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции на заданном отрезке [0.5;3], нужно вычислить значение функции в конечных точках отрезка и в критических точках (точках, где производная функции равна нулю или не существует) и выбрать минимальное и максимальное из этих значений.

Вычислим значение функции в конечных точках отрезка:
f(0.5) = -0.5³ + 40.5² = -0.125 + 1 = 0.875
f(3) = -3³ + 43² = -27 + 36 = 9

Найдем критические точки, решив уравнение f'(x) = 0:
f'(x) = -3x² + 8x
-3x² + 8x = 0
x(8 - 3x) = 0
x = 0, x = 8/3

Вычислим значение функции в найденных критических точках:
f(0) = 0
f(8/3) = -(8/3)³ + 4*(8/3)² = -64/27 + 128/9 = 16/27

Наименьшее значение функции на отрезке [0.5;3] равно 0,875 (достигается в точке x=0.5), а наибольшее значение равно 9 (достигается в точке x=3).