Доказательство проведем методом математической индукции.

База индукции:
При n = 1, левая часть равна 1, а правая часть равна 1^2 = 1. Таким образом, утверждение верно для n = 1.

Предположение индукции:
Пусть утверждение верно для некоторого n = k, то есть 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k^2.

Шаг индукции:
Докажем, что утверждение верно и для n = k + 1. То есть необходимо показать, что 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2(k+1) - 1) = (k+1)^2.

По предположению индукции, 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k^2. Тогда добавим к обеим частям равенства (2(k+1) - 1) и преобразуем его:

(k^2) + (2(k+1) - 1) = (k+1)^2
k^2 + 2k + 2 - 1 = k^2 + 2k + 1
k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2.

Таким образом, утверждение верно и для n = k + 1.

Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n, то есть 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2.