Для начала найдем точки пересечения двух функций y=-x^2-4x и y=x+4. -x^2-4x=x+4 -x^2-5x-4=0 x^2+5x+4=0 x+1x+1x+1x+4x+4x+4=0 x=-1, x=-4
Подставим x=-1 и x=-4 в обе уравнения, чтобы найти соответствующие y-координаты: При x=-1: y=-−1-1−1^2-4−1-1−1 = -1+4 = 3 y=-1+4 = 3 Точка пересечения −1,3-1,3−1,3
При x=-4: y=-−4-4−4^2-4−4-4−4 = -16+16 = 0 y=-4+4 = 0 Точка пересечения −4,0-4,0−4,0
Теперь находим площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми и осью x. Интегрируем разность функций между их точками пересечения: ∫from−4to−1from -4 to -1from−4to−1x+4x+4x+4 - −x2−4x-x^2-4x−x2−4x dx ∫from−4to−1from -4 to -1from−4to−1 x+4 + x^2+4x dx ∫from−4to−1from -4 to -1from−4to−1 x^2 + 5x + 4 dx = 1/31/31/3x^3 + 5/25/25/2x^2 + 4x] from−4to−1from -4 to -1from−4to−1
= 1/31/31/3−1-1−1^3 + 5/25/25/2−1-1−1^2 + 4−1-1−1 - 1/31/31/3−4-4−4^3 + 5/25/25/2−4-4−4^2 + 4−4-4−4
= −1/3-1/3−1/3 + 5/25/25/2 - 4 + 64/364/364/3 - 40 + 16 = 18/3 - 8/3 + 34 = 10 + 34 = 44
Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2-4x и y=x+4, равна 44.
Для начала найдем точки пересечения двух функций y=-x^2-4x и y=x+4.
-x^2-4x=x+4
-x^2-5x-4=0
x^2+5x+4=0
x+1x+1x+1x+4x+4x+4=0
x=-1, x=-4
Подставим x=-1 и x=-4 в обе уравнения, чтобы найти соответствующие y-координаты:
При x=-1:
y=-−1-1−1^2-4−1-1−1 = -1+4 = 3
y=-1+4 = 3
Точка пересечения −1,3-1,3−1,3
При x=-4:
y=-−4-4−4^2-4−4-4−4 = -16+16 = 0
y=-4+4 = 0
Точка пересечения −4,0-4,0−4,0
Теперь находим площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми и осью x.
Интегрируем разность функций между их точками пересечения:
∫from−4to−1from -4 to -1from−4to−1 x+4x+4x+4 - −x2−4x-x^2-4x−x2−4x dx
∫from−4to−1from -4 to -1from−4to−1 x+4 + x^2+4x dx
∫from−4to−1from -4 to -1from−4to−1 x^2 + 5x + 4 dx
= 1/31/31/3x^3 + 5/25/25/2x^2 + 4x] from−4to−1from -4 to -1from−4to−1 = 1/31/31/3−1-1−1^3 + 5/25/25/2−1-1−1^2 + 4−1-1−1 - 1/31/31/3−4-4−4^3 + 5/25/25/2−4-4−4^2 + 4−4-4−4 = −1/3-1/3−1/3 + 5/25/25/2 - 4 + 64/364/364/3 - 40 + 16
= 18/3 - 8/3 + 34
= 10 + 34
= 44
Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2-4x и y=x+4, равна 44.