Для того чтобы найти коэффициент при x^2, нужно рассмотреть слагаемые, которые содержат x^2 в произведении (x+1)^4 (x+2)^5.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1

(x+2)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 2

Умножим эти два выражения:

(x+1)^4 (x+2)^5 = (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1)(x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 2)

Сначала умножим x^2 из первой скобки на остальные многочлены из второй скобки:

6x^2 x^5 = 6x^7
6x^2 5x^4 = 30x^6
6x^2 10x^3 = 60x^5
6x^2 10x^2 = 60x^4
6x^2 5x = 30x^3
6x^2 2 = 12x^2

Сложим результаты:

6x^7 + 30x^6 + 60x^5 + 60x^4 + 30x^3 + 12x^2

Таким образом, коэффициент при x^2 в произведении (x+1)^4 (x+2)^5 равен 12.