Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке [1;4] найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю:

f'(x) = d/dx (7 + 6x - 2x^(3/2))
f'(x) = 6 - (3x^(1/2))
0 = 6 - 3x^(1/2)
3x^(1/2) = 6
x^(1/2) = 2
x = 4

Таким образом, критическая точка находится в точке x = 4. Чтобы убедиться, что это точка максимума, можно также найти вторую производную и убедиться, что она отрицательна:

f''(x) = d^2/dx^2 (6 - 3x^(1/2))
f''(x) = -3/2x^(-1/2)

Подставляя x = 4, получаем f''(4) = -3/2 * 1/2 = -3/4, что является отрицательным числом, следовательно, в точке x = 4 находится максимум функции f(x).

Теперь найдем значение функции в точке максимума:

f(4) = 7 + 64 - 24^(3/2)
f(4) = 7 + 24 - 2*8
f(4) = 31

Наибольшее значение функции на отрезке [1;4] равно 31.