Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь всех граней призмы.

Площадь одной боковой грани равна полупроизведению периметра основания на боковое ребро, то есть:
Sбок = $P\ast l$ / 2,

где P - периметр основания, l - боковое ребро.

Периметр треугольника равно:
P = 3a

где a - длина стороны треугольника.

Зная, что ребро основания равно 4 sqrt$3$, а боковое ребро равно 6, мы можем найти сторону треугольника по теореме Пифагора:

a = sqrt$(l^2-(1/4)<em>P^2)$ = sqrt$(6^2-(1/4)</em>(4\ast sqrt(3){)}^2)$ = sqrt$36-12$ = sqrt$24$ = 2 sqrt$6$.

Теперь можем найти периметр основания и площадь одной боковой грани:

P = 3 2 sqrt$6$ = 6 sqrt$6$,
Sбок = $6</em>sqrt(6)\ast 6$ / 2 = 18 sqrt$6$.

Теперь найдем площадь основания:

Sосн = $a^2<em>sqrt(3)$ / 4 = $(2</em>sqrt(6){)}^2<em>sqrt(3)$ / 4 = $24</em>sqrt(3)$ / 4 = 6 sqrt$3$.

Таким образом, площадь полной поверхности правильной треугольной призмы равна:

S = Sбок 3 + Sосн = 18 sqrt$6$ 3 + 6 sqrt$3$ = 54 sqrt$6$ + 6 sqrt$3$ = 6 sqrt$6$ * $9+sqrt(3)$.

Ответ: S = 6 sqrt$6$ * $9+sqrt(3)$.