Две окружности пересекаются в точках A и B; общая касательная касается окружностей в точках C и D... Две окружности пересекаются в точках A и B; общая касательная касается окружностей в точках C и D. Докажите, что прямая AB делит отрезок CD пополам.
Две окружности пересекаются в точках A и B; общая касательная касается окружностей в точках C и D... Две окружности пересекаются в точках A и B; общая касательная касается окружностей в точках C и D. Докажите, что прямая AB делит отрезок CD пополам.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала заметим, что по свойству касательной к окружности, угол CAB равен углу CBD (построим дополнительную касательную к окружности, проходящую через точку B и найдем соответствующие углы).
Так как угол CAB равен углу CBD, то треугольники CAB и CBD подобны по двум углам. Значит, соответствующие стороны пропорциональны: CA/CD = BA/BD.
Также заметим, что угол CAD равен углу CBD, так как это соответственные углы при параллельных прямых.
Таким образом, треугольники CAD и CBD подобны по углу при вершине C и по двум углам, значит, соответствующие стороны пропорциональны: CA/CD = BA/BD.
Из двух полученных пропорций следует, что CA/CD = BA/BD, откуда следует, что AB делит отрезок CD пополам.
Таким образом, прямая AB делит отрезок CD пополам.