Для нахождения длины наибольшего и наименьшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону треугольника длиной 12, нам необходимо использовать теорему о касательных.

Так как окружность касается сторон треугольника, то точки касания лежат на серединах сторон треугольника. Поэтому от точки касания до середины стороны треугольника - это также радиус окружности.

Давайте обозначим точки касания как A, B и C. Поскольку от точки касания до середины стороны треугольника равно радиусу окружности, то у нас имеется прямоугольный треугольник ACI, где AC = 12/2 = 6 (AC - половина стороны треугольника) и AI - радиус окружности.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ACI:
CI^2 + AI^2 = AC^2
CI^2 + r^2 = AC^2
CI^2 + r^2 = 6^2
CI = √(36 - r^2)

Для точки B, где касается стороны с длиной 12:
BI = 12 - 2r

Теперь найдем максимальное и минимальное значение BI:

Для поиска максимального значения вычислим производную BI по радиусу r и приравняем ее к нулю:
d(BI)/dr = -2 = 0
r = 6
BI(max) = 12 - 2*6 = 0

Для поиска минимального значения также вычислим производную BI по радиусу r и приравняем ее к нулю:
d(BI)/dr = -2 = 0
r = 0
BI(min) = 12 - 2*0 = 12

Итак, наибольший отрезок, на который точка касания делит сторону длиной 12, равен 0, а наименьший отрезок равен 12.