Чтобы исследовать данную функцию на экстремум, необходимо найти её частные производные по переменным x и y и приравнять их к нулю.

Найдем частные производные по x и y:
dz/dx = 6x^2 + 6y + 6
dz/dy = 2y + 6x

Приравняем их к нулю:
6x^2 + 6y + 6 = 0
2y + 6x = 0

Решим систему уравнений:
из второго уравнения получаем y = -3x
подставляем в первое уравнение:
6x^2 + 6(-3x) + 6 = 0
6x^2 - 18x + 6 = 0
преобразуем уравнение и найдем корни:
x^2 - 3x + 1 = 0
D = 3^2 - 411 = 9 - 4 = 5
x1,2 = (3 +- sqrt(5))/2

Найдем соответствующие значения y:
y1 = -3x1 = -3(3 + sqrt(5))/2 = -3/2(3 + sqrt(5))
y2 = -3x2 = -3(3 - sqrt(5))/2 = -3/2(3 - sqrt(5))

Проверим найденные значения на точку минимума или максимума с помощью второй производной:
d^2z/dx^2 = 12x
d^2z/dy^2 = 2

Матрица вторых частных производных:
d^2z/dx^2 | d^2z/dxdy
d^2z/dydx | d^2z/dy^2

det = d^2z/dx^2 d^2z/dy^2 - (d^2z/dxdy)^2
det = 12x 2 - 0 = 24x

Подставим найденные значения x1 и x2:
для точки (3 + sqrt(5))/2, -3/2(3 + sqrt(5)):
det = 24(3 + sqrt(5))/2 > 0, значит, это точка минимума

для точки (3 - sqrt(5))/2, -3/2(3 - sqrt(5)):
det = 24(3 - sqrt(5))/2 < 0, значит, это точка максимума

Таким образом, точка (3 + sqrt(5))/2, -3/2(3 + sqrt(5)) является точкой минимума, а точка (3 - sqrt(5))/2, -3/2(3 - sqrt(5)) является точкой максимума для данной функции.