Для того чтобы доказать, что сумма кубов трех подряд идущих натуральных чисел делится на 9 без остатка, давайте представим эти числа в виде ( n, n+1, n+2 ), где ( n ) — первое число.

Сумма кубов этих чисел будет равна ( n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 ).
Раскроем скобки и упростим:
( n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8) )
( = 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9 )

Заметим, что в полученном выражении каждое слагаемое делится на 3 без остатка.
Таким образом, сумма кубов трех подряд идущих натуральных чисел будет делиться на 9 без остатка.