Для исследования функции f(x) = x³ - 3x², мы можем начать с вычисления производных и точек экстремума, чтобы определить ее поведение.

Найдем производную функции f(x):
f'(x) = 3x² - 6x

Найдем точки экстремума, приравнивая производную к нулю:
3x² - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
x = 0 или x = 2

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: (0, 0) и (2, -4).

Вычислим вторую производную для определения характера точек экстремума:
f''(x) = 6x - 6

Подставим найденные значения x = 0 и x = 2:
f''(0) = -6 < 0 => точка (0, 0) - максимум
f''(2) = 6 > 0 => точка (2, -4) - минимум

Теперь построим график функции f(x) = x³ - 3x².

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(-2, 4, 100)
y = x**3 - 3*x**2
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.grid(True)
plt.title('График функции f(x) = x³ - 3x²')
plt.show()

На графике мы видим, что функция имеет точку максимума в точке (0, 0) и точку минимума в точке (2, -4). Она также имеет убывающие участки слева и справа от точки минимума и возрастающий участок между точками экстремума.