Обозначим первый член геометрической прогрессии как (a), а знаменатель прогрессии как (q). Тогда пятый член будет равен (aq^4), а шестой член будет равен (aq^5).

Учитывая условие задачи, мы получаем два уравнения:

(a*q^4 - a = 15)(a + a*q^2 = 20)

Решим данную систему уравнений. Возьмем второе уравнение и выразим (a):
[a = \frac{20}{1+q^2}]

Подставим это выражение в первое уравнение:
[\frac{20q^4}{1+q^2} - \frac{20}{1+q^2} = 15]
[20q^4 - 20 = 15(1+q^2)]
[20q^4 - 20 = 15 + 15q^2]
[20q^4 - 15q^2 - 35 = 0]

Получаем квадратное уравнение относительно (q^2). Решим его:
[q^2 = \frac{15 \pm \sqrt{15^2 + 42035}}{2*20}]
[q^2 = \frac{15 \pm \sqrt{1225}}{40}]

Итак, получаем два возможных значения для (q^2):

(q^2 = \frac{1}{8}) (положительное)(q^2 = \frac{7}{8}) (второе положительное)

Так как знаменатель прогрессии должен быть положительным числом, то выбираем (q^2 = \frac{1}{8}), откуда получаем (q = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{2}}{4}).

Теперь найдем первый член (a):
[a = \frac{20}{1+q^2} = \frac{20}{1+\frac{1}{8}} = \frac{20*8}{9} = \frac{160}{9}]

И шестой член геометрической прогрессии будет:
[aq^5 = \frac{160}{9}\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^5 = \frac{160}{9}*\frac{1}{32} = \frac{5}{9}]

Поэтому шестой член геометрической прогрессии равен (\frac{5}{9}).