Для нахождения радиуса основания усеченного конуса воспользуемся формулой для площади боковой поверхности конуса:

S_b = π (R1 + R2) l,

где S_b - площадь боковой поверхности, R1 и R2 - радиусы оснований конуса, l - образующая конуса.

Из условия задачи известно, что S_b = 182 см², l = 13 см. Зная эти значения, мы можем выразить сумму радиусов R1 + R2:

182 = π (R1 + R2) 13,
182 = 13π * (R1 + R2),
R1 + R2 = 182 / (13π).

Также, зная, что высота конуса h = 5 см, можем написать, что R1 - R2 = 2h, т.к. образующая конуса делит его на две части, высотой h каждая.

Теперь у нас есть система уравнений:
R1 + R2 = 182 / (13π),
R1 - R2 = 10.

Решая эту систему уравнений, найдем радиусы R1 и R2. Решение системы даст нам: R1 = 91 / (13π) и R2 = 91 / (13π). Таким образом, радиус основания усеченного конуса равен 91 / (13π) = 7 см.