Пусть дано трёхзначное число $ABC$, где $A$, $B$ и $C$ - цифры числа. Тогда число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет равно $CBA$.

Вычитаем из трёхзначного числа число, записанное в обратном порядке:
$$ABC-CBA=100A+10B+C-(100C+10B+A)=99A-99C=99(A-C)$$

Таким образом, получаем, что разность чисел будет кратна 9: $99(A-C)$. Но сумма цифр разности равна $A-C$. Так как $A-C$ должно быть равно 18, то числа $A$ и $С$ различаются на 9. При этом цифры $A$ и $C$ оба являются однозначными числами и при этом имеют разность 9. Это возможно только в случае, если $A=9$ и $C=0$.

Таким образом, $ABC=900$. Проверим:
$$900-009=891$$

Сумма цифр числа 891 равна 18. Таким образом, доказано, что если из трёхзначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится число, сумма цифр которого равна 18.