Для решения уравнения 8sin(x/3)+cos(x/3) = 0 преобразуем его к виду, удобному для решения:

8sin(x/3) = -cos(x/3)
sin(x/3) = -cos(x/3)/8

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin(x) = cos(π/2 - x), чтобы преобразовать уравнение:

cos(π/2 - x/3) = -cos(x/3)/8

Теперь воспользуемся тождеством cos(α) = cos(-α) и перепишем уравнение:

cos(x/3 - π/2) = -cos(x/3)/8

Теперь подставим значение -cos(x/3)/8 вместо cos(x/3 - π/2):

cos(x/3 - π/2) = -cos(x/3)/8
cos(x/3 - π/2) = -cos(x/3)/8

Далее, преобразуем уравнение:

cos(x/3 - π/2) = -cos(x/3)/8
cos(x/3 - π/2) + cos(x/3)/8 = 0

Теперь воспользуемся формулой для суммы косинусов:

cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) = cos(a + b)

Подставим это в уравнение:

cos(x/3 - π/2) + cos(x/3)/8 = 0
cos(x/3 - π/2 + x/3) = 0
cos(2x/3 - π/2) = 0

Теперь решим уравнение cos(2x/3 - π/2) = 0:

2x/3 - π/2 = π/2 + πk, где k - целое число

2x/3 = π + 2πk
x = 3π/2 + 6πk

Таким образом, решение уравнения 8sin(x/3)+cos(x/3) = 0 имеет вид x = 3π/2 + 6πk, где k - целое число.