Для решения данной задачи нам потребуется формула для радиуса описанной сферы тетраэдра, которая выглядит следующим образом:

$R=\frac{abc}{4V},$

где a, b, c - длины ребер тетраэдра, V - его объем.

Сначала найдем объем тетраэдра ABCD. Для этого воспользуемся формулой объема тетраэдра через площадь основания и высоту:

$V=\frac{1}{3}S\cdot h,$

где S - площадь треугольника ABC, h - высота тетраэдра, опущенная из вершины D на плоскость ABC.

Треугольник ABC - прямоугольный, поэтому его площадь равна:

$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{11}\cdot 2\sqrt{5}=\sqrt{55}.$

Определим высоту h с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного тетраэдра ABCD:

$h^2=B{D}^2-(BC\cdot \cos \angle BDC{)}^2=11-(2\sqrt{5}\cdot \frac{2}{\sqrt{21}}{)}^2=11-\frac{16}{21}=\frac{115}{21},$

$h=\sqrt{\frac{115}{21}}.$

Теперь можем рассчитать объем тетраэдра:

$V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{55}\cdot \sqrt{\frac{115}{21}}\approx \mathrm{5.15.}$

Теперь можем найти радиус описанной сферы:

$R=\frac{\sqrt{11}\cdot 2\sqrt{5}\cdot 4}{4\cdot 5.15}=\frac{8\sqrt{55}}{20.6}\approx \mathrm{1.83.}$

Таким образом, радиус описанной сферы тетраэдра ABCD равен примерно 1.83.