Предположим, что данное утверждение верно для некоторого числа n, то есть сумма чисел от 1 до n делится на сумму их степеней от 1^1899 до n^1899.

Индукционное предположение: 1 + 2 + 3 + ... + n делится на 1^1899 + 2^1899 + 3^1899 + ... + n^1899

Теперь докажем, что это утверждение верно и для числа n+1.

Рассмотрим сумму чисел от 1 до n+1:

1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1)

Мы можем вынести скобку из предыдущей суммы и получить:

(1 + 2 + 3 + ... + n) + (n+1)

По индукционному предположению, сумма чисел от 1 до n, то есть (1 + 2 + 3 + ... + n), делится на сумму их степеней от 1^1899 до n^1899.

Таким образом, мы можем записать:

(1 + 2 + 3 + ... + n) + (n+1) = k*(1^1899 + 2^1899 + 3^1899 + ... + n^1899) + (n+1)

где k - некоторое целое число.

Теперь рассмотрим сумму степеней от 1^1899 до (n+1)^1899:

1^1899 + 2^1899 + 3^1899 + ... + n^1899 + (n+1)^1899

Мы можем прибавить и вычесть (n+1)^1899 внутри этой суммы:

(1^1899 + 2^1899 + 3^1899 + ... + n^1899) + (n+1)^1899 - (n+1)^1899

По индукционному предположению, сумма степеней от 1^1899 до n^1899 делится на сумму чисел от 1 до n, то есть (1 + 2 + 3 + ... + n).

Мы можем записать:

(1^1899 + 2^1899 + 3^1899 + ... + n^1899) + (n+1)^1899 - (n+1)^1899 = k*(1 + 2 + 3 + ... + n) + (n+1)^1899 - (n+1)^1899

Таким образом, мы получаем:

(1 + 2 + 3 + ... + n) + (n+1) = k*(1^1899 + 2^1899 + 3^1899 + ... + n^1899) + (n+1) = k*(1 + 2 + 3 + ... + n) + (n+1)

Обращаясь к индукционному предположению, мы видим, что сумма чисел от 1 до n+1 также делится на сумму их степеней от 1^1899 до (n+1)^1899.

Таким образом, по принципу математической индукции доказано, что сумма чисел от 1 до 1899 делится на сумму их степеней от 1^1899 до 1899^1899.