Доказательство:

Для начала заметим, что каждое нечетное число можно представить как $2n+1$, где n - натуральное число.

Теперь распишем сумму нечетных последовательных чисел:
1 + 3 + 5 + 7 + ... + $2k+1$ = $2<em>0+1$ + $2</em>1+1$ + $2<em>2+1$ + ... + $2</em>k+1$ = 1 + 3 + 5 + ... + $2k+1$

Эту сумму можно записать следующим образом:
$1+3$ + $5+7$ + ... + $2k+1$ = $2<em>0+1$ + $2</em>1+1$ + ... + $2k+1$

Каждое выражение в скобках можно представить в виде квадрата $n+1$^2:
$1+3$ = 2^2, $5+7$ = 4^2, ..., $2k+1$ = $k+1$^2

Таким образом, сумма нечетных последовательных чисел равна $1^2+2^2+...+k^2$ = $k(k+1)(2k+1)$/6 = k^2.

Таким образом, лемма доказана.