Для того чтобы число n(n+1)(n+2)(n+3) делилось на 1000, необходимо, чтобы оно делилось и на 8, и на 125.

Поскольку произведение четырех последовательных чисел n, n+1, n+2 и n+3 уже является четным, остается проверить деление на 125.

Для этого можно рассмотреть возможные остатки от деления n на 5.

Если n кратно 5, то n(n+1)(n+2)(n+3) также будет кратно 5. Поэтому остатки от деления n(n+1)(n+2)(n+3) на 125 будут равны 0 при n=0, 5, 10, 15, и т.д.

Таким образом, наименьшее число n, для которого n(n+1)(n+2)(n+3) делится на 1000, это n=0.

Проверка: 012*3=0, что делится и на 8, и на 125.

Итак, наименьшее число n равно 0.