Для того чтобы доказать, что число 2222^5555 + 5555^2222 делится на 7, можно воспользоваться свойством конгруэнтности по модулю.

Заметим, что 2222 ≡ 1 (mod 7), так как 2222 = 3177 + 1
И также, что 5555 ≡ 4 (mod 7), так как 5555 = 7937 + 4

Тогда получим:
2222^5555 + 5555^2222 ≡ 1^5555 + 4^2222 ≡ 1 + 4^2222 (mod 7)

Поскольку 4 ≡ -3 (mod 7), то 4^2222 ≡ (-3)^2222 ≡ 3^2222, так как (-1)^2n = 1
Теперь, заметим, что 3 ≡ -4 (mod 7), и тогда 3^2 = 4 ≡ -3 (mod 7)

Таким образом, 3^2222 ≡ (-3)^1111 ≡ 0 (mod 7)

Из этого следует, что 2222^5555 + 5555^2222 делится на 7.