Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C),

где c - сторона треугольника, противолежащая углу C, а и b - две другие стороны.

Из условия задачи известны стороны AB = 19√2см, угол C = 45° и угол A = 60°. Таким образом, сторона BC = c и сторона AC = a.

По условию углов треугольника сумма всех углов равна 180°, поэтому находим угол B:

B = 180° - 60° - 45° = 75°.

Теперь можем приступить к вычислению стороны BC:

BC^2 = 19√2^2 + a^2 - 2 19√2 a * cos(75°).

BC^2 = 2 (19^2 + a^2) - 38a cos(75°).

Так как угол 75° не является стандартным углом, его косинус найдем с помощью формулы косинуса разности:

cos(75°) = cos(45° + 30°) = cos(45°) cos(30°) - sin(45°) sin(30°) =

= (1/√2 √3/2) - (1/√2 1/2) = (√3/2√2) - (1/2√2) = (√3 - 1) / 2√2.

Подставляем это значение в формулу для BC:

BC^2 = 2 (19^2 + a^2) - 38a ((√3 - 1) / 2√2).
BC^2 = 2 * (361 + a^2) - 19a(√3 - 1).

Так как треугольник равнобедренный (углы A и B равны), то стороны AC и BC также равны, поэтому:

a = c.

Таким образом, искомая сторона BC равна BC = a = c = √(2 * (361 + a^2) - 19a(√3 - 1)).

Продолжение следует...