Для начала решим данное уравнение:

(m - n)^2 = 4mn / (m + n) - 1

Раскроем скобки в левой части уравнения:

m^2 - 2mn + n^2 = 4mn / (m + n) - 1

Умножим обе части уравнения на (m + n) и раскроем дробь:

m^3 + n^3 = 4mn - (m + n)

Поделим обе части уравнения на m + n:

(m^3 + n^3) / (m + n) = 4mn / (m + n) - 1

Выразим (m^3 + n^3) / (m + n) через сумму кубов:

(m^3 + n^3) / (m + n) = (m + n)(m^2 - mn + n^2) / (m + n) = m^2 - mn + n^2 = (m + n)^2 - 3mn

Подставим это значение обратно в уравнение:

(m + n)^2 - 3mn = 4mn - (m + n) - 1

Раскроем скобки:

m^2 + 2mn + n^2 - 3mn = 4mn - m - n - 1

m^2 - mn + n^2 = m + n - 1

Теперь заметим, что:

(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2

Подставим это значение в уравнение:

(m + n)^2 - 3mn = 4mn - (m + n) - 1

(m + n)^2 = 7mn - (m + n) - 1

Как видим, m + n - целое число в квадрате. Таким образом, доказано.