Для всех натуральных n существует решение уравнения x[x[x[x[x]]]] = n. Для этого можно использовать метод математической индукции.

База индукции: для n=1 выбираем любое положительное целое число x. Так как x[x[x[x[x]]]] равно x, то уравнение верно для n=1.

Предположение: пусть уравнение x[x[x[x[x]]]] = k верно для некоторого натурального k.

Шаг индукции: покажем, что уравнение x[x[x[x[x]]]] = k+1 верно. Для этого возьмем x = k. Тогда получаем:

k[k[k[k[k]]]] = k + 1

Таким образом, индуктивно доказано, что уравнение x[x[x[x[x]]]] = n верно для любого натурального n.