Длина стороны AB:
AB = √[(0-(-12))^2 + (-10-(-1))^2]
= √[12^2 + (-9)^2]
= √[144 + 81]
= √225
= 15

Уравнение прямой AB:
Уравнение прямой через две точки A(x1, y1) и B(x2, y2):
(y - y1) = (y2 - y1)/(x2 - x1) (x - x1)
(y - (-1)) = (-10 - (-1))/(0 - (-12)) (x - (-12))
y + 1 = -9/12 * (x + 12)
y + 1 = -3/4x - 9
3x + 4y + 13 = 0
Угловой коэффициент прямой AB: -3/4

Уравнение прямой BC:
Координаты точек B и C:
B(0, -10), C(4, 12)
Уравнение прямой через две точки B и C:
(y - y1) = (y2 - y1)(x - x1)/(x2 - x1)
(y - (-10)) = (12 - (-10))(x - 0)/(4 - 0)
y + 10 = 22/4 * x
y + 10 = 11/2x
2y + 20 = 11x
2y - 11x + 20 = 0
Угловой коэффициент прямой BC: -11/2

Угол ψ между прямыми AB и BC:
Так как угловой коэффициент прямой AB равен -3/4,
а угловой коэффициент прямой BC равен -11/2,
угол между ними можно вычислить по формуле:
tan(ψ) = |(m2 - m1)/(1 + m1 * m2)|
где m1 и m2 - угловые коэффициенты прямых.

tan(ψ) = |(-11/2 - (-3/4))/(1 + (-3/4) * (-11/2))|
tan(ψ) = |-17/4 / (1 + 33/8)|
tan(ψ) = |-17/4 / (8/8 + 33/8)|
tan(ψ) = |-17/4 / 41/8|
tan(ψ) = -34/41
ψ = arctan(-34/41)
ψ ≈ -0.689 rad

Уравнение высоты CD и ее длина:
Для высоты CD можно использовать уравнение, проходящее через точку C и перпендикулярное стороне AB:
Уравнение прямой через точку C(4, 12) и перпендикулярное AB:
4x + 3y + c = 0
Для нахождения константы c подставим координаты точки С:
44 + 312 + c = 0
16 + 36 + c = 0
c = -52
Уравнение высоты CD: 4x + 3y - 52 = 0

Длина высоты CD от точки C до прямой AB можно найти как перпендикуляр от точки C к прямой AB:
h = |4(-12) + 3(-1) - 52| / sqrt(4^2 + 3^2)
h = |(-48 - 3 - 52)| / 5
h = 103 / 5
h = 20.6

Уравнение медианы AE и координаты точки K:
A(−12;−1); E(-4; 5)
Найдем координаты точки K - пересечения медианы AE и высоты CD:
Найдем координаты середины стороны AE:
x = (-12 - 4) / 2
y = (-1 + 5) / 2
x = -8 / 2 = -4
y = 4 / 2 = 2
Середина стороны AE: M(-4, 2)
Уравнение медианы AE:
(y - y1) = (y2 - y1)/(x2 - x1) (x - x1)
(y - (-1)) = (5 - (-1))/(-4 - (-12)) (x - (-12))
y + 1 = 6/8 * (x + 12)
6y + 6 = 8x + 96
8x - 6y - 90 = 0
Уравнение медианы AE: 4x - 3y - 45 = 0

Теперь найдем координаты точки K - пересечения медианы AE с высотой CD:
Решаем систему уравнений:
4x - 3y - 45 = 0
4x + 3y - 52 = 0
Получаем точку K(-4, 5)

Уравнение прямой L, параллельной стороне AB и проходящей через точку K(-4, 5):
Так как прямая L параллельна стороне AB, то у нее тот же угловой коэффициент:
Угловой коэффициент прямой AB: -3/4
Уравнение прямой L:
(y - y1) = m(x - x1)
(y - 5) = -3/4(x - (-4))
y - 5 = -3/4(x + 4)
y - 5 = -3/4x - 3
3y - 15 = -4x - 12
4x + 3y + 3 = 0

Поиск координат точки F, симметричной точке A относительно прямой CD:
Уравнение прямой CD: 4x + 3y - 52 = 0
Угловой коэффициент прямой CD: -4/3
Найдем уравнение прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной CD:
4x + 3y + c1 = 0
Подставим координаты точки A:
4(-12) + 3(-1) + c1 = 0
-48 - 3 + c1 = 0
c1 = 51
Уравнение прямой AF:
4x + 3y + 51 = 0
Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной CD (прямой AF):
4x + 3y + c2 = 0
c2 = -4(-12) - 3(-1)
c2 = 48 + 3
c2 = 51
Уравнение прямой F:
4x + 3y + 51 = 0

Теперь найдем точку F - симметричную точке A относительно прямой CD:
Для этого найдем перпендикуляр от точки A к прямой CD (проходящий через A):
Уравнение прямой перпендикуляра от точки A к CD:
4x + 3y + c3 = 0
Подставим координаты точки A:
4(-12) + 3(-1) + c3 = 0
-48 - 3 + c3 = 0
c3 = 51
Уравнение прямой перпендикуляра: 4x + 3y + 51 = 0

Точка F - пересечение прямой перпендикуляра от точки A к CD и прямой CD:
Решаем систему уравнений:
4x + 3y + 51 = 0
4x + 3y - 52 = 0
Получаем точку F(1, -13)