Докажем данное утверждение методом математической индукции.

База индукции:
При n = 1:
1^4 + 3 1^3 - 1^2 - 3 1 = 1 + 3 - 1 - 3 = 0.
Таким образом, при n = 1 выражение делится на 6.

Индукционный переход:
Допустим, что при некотором n = k выражение k^4 + 3k^3 - k^2 - 3k делится на 6.

Докажем, что при n = k + 1 также выполнено это условие:
(k + 1)^4 + 3(k + 1)^3 - (k + 1)^2 - 3(k + 1) =
= k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 3k^3 + 9k^2 + 9k + 1 - k^2 - 2k - 1 - 3k - 3 =
= k^4 + 7k^3 + 14k^2 + 10k - k - 2 =
= k^4 + 3k^3 - k^2 - 3k + 6k^3 + 14k^2 + 11k - 2 =
= (k^4 + 3k^3 - k^2 - 3k) + 6k^3 + 14k^2 + 11k - 2.

Из предположения индукции первое выражение делится на 6, а второе выражение является многочленом с целыми коэффициентами, значит, для любого натурального числа оно также делится на 6.

Таким образом, мы доказали, что при любом натуральном n выражение n^4 + 3n^3 - n^2 - 3n делится на 6.