Для нахождения объема конуса V необходимо воспользоваться формулой:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания конуса, h - высота конуса.

Так как у нас известна длина образующей (l = √162) и угол между образующей и плоскостью основания (45°), то можно найти радиус основания (r) и высоту конуса (h).

Так как тангенс угла между образующей и плоскостью основания равен h/r, а тангенс 45° равен 1, то h/r = 1. Также с помощью теоремы Пифагора и геометрических свойств прямоугольного треугольника, мы можем найти r и h.

Из уравнения h/r = 1 находим, что h = r.

Также из уравнения l^2 = r^2 + h^2, где l = √162 и h = r, мы можем найти r:

r^2 + r^2 = 162,
2r^2 = 162,
r^2 = 81,
r = 9.

Итак, радиус основания конуса равен 9.

Теперь можем найти объем конуса:

V = (1/3) π r^2 h = (1/3) π 9^2 9 = 243π.

Ответ: объем конуса равен 243π.