Даны две параллельные прямые AB и CD, которые пересекают отрезок EF на точке M. Найдем отношение длин отрезков EM и MF.

Пусть точка E имеет координаты (х₁, у₁), точка F - (х₂, у₂). Так как прямые AB и CD параллельны, то прямая EF пересекает их соответственно в точках A и C.

Можно заметить, что треугольники EMA и FMC подобны, так как у них соответственные углы равны (из-за параллельности прямых).

Из подобия треугольников следует, что отношение длин отрезков EM к MF равно отношению длин соответствующих сторон треугольников. То есть EM/MF = EA/FC = MA/MC.

Теперь найдем координаты точек А, С и М:

Точка А имеет координаты (х₁, y₁), точка С - (x₂, y₁) (так как AB и CD параллельны).Точка М - это точка пересечения прямых AB и CD, а значит, имеет координаты (хₘ, y₁). Поскольку она также является точкой пересечения прямых EF и AC, то координата y точки М равна y₁.

Теперь можем записать отношение длин отрезков EM и MF:
EM/MF = MA/MC = sqrt((x₁ - xₘ)² + (y₁ - y₁)²) / sqrt((x₂ - xₘ)² + (y₁ - y₁)²).

Таким образом, отношение длин отрезков EM и MF равно отношению расстояний от точек E и F до точки пересечения прямых AB и CD.