Для начала обратим внимание на то, что угол KMN и угол KNM равны, следовательно, треугольник KMN является равнобедренным.

Пусть KN = MN = x (длина отрезка MN).

Тогда из условия KN - MN = 8 получаем, что KN = MN + 8.

Так как периметр треугольника KMN равен 31, то:

31 = KN + KN + MN
31 = 2KМ + МN
31 = 2(x+8) + x
31 = 2x + 16 + x
31 = 3x + 16
3x = 15
x = 5

Таким образом, длина отрезка MN равна 5.