Обоснуйте своё решение задачи Две окружности радиусов `4` и `1` внешне касаются друг друга в точке `A`. Большая окружность (центр `O`) касается общей внешней касательной в точке `M`, меньшая (центр `Q`) – в точке `N`. Общая внутренняя касательная пересекает отрезок `MN` в точке `K`. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник `AMK`.
Обоснуйте своё решение задачи Две окружности радиусов `4` и `1` внешне касаются друг друга в точке `A`. Большая окружность (центр `O`) касается общей внешней касательной в точке `M`, меньшая (центр `Q`) – в точке `N`. Общая внутренняя касательная пересекает отрезок `MN` в точке `K`. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник `AMK`.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Пусть радиус окружности вписанной в треугольник AMK равен r.
Так как OQ = 4, то OQ = r + 1, а отсюда MQ = 4 - (r + 1) = 3 - r.
Также, по теореме касательных, NM^2 = MQ * MK.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ANM:
AM^2 = AN^2 + NM^2 = (r + 1)^2 + (3 - r)^2.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AMK:
AK^2 + MK^2 = AM^2.
Так как r - радиус окружности вписанной в треугольник AMK, то AK = r, и тогда
r^2 + MK^2 = (r + 1)^2 + (3 - r)^2.
Сравнивая два последних уравнения, получаем
r^2 + MK^2 = (r + 1)^2 + (3 - r)^2.
Решаем уравнение:
r^2 + MK^2 = r^2 + 2r + 1 + 9 - 6r + r^2.
Сокращаем равенство:
MK^2 = 2r + 10.
Так как MK = 4 - r,
(4 - r)^2 = 2r + 10.
Раскрываем скобки и преобразуем уравнение:
16 - 8r + r^2 = 2r + 10.
r^2 - 10r + 6 = 0.
Решая это квадратное уравнение, находим, что r = 5 - sqrt(19).
Итак, радиус окружности, вписанной в треугольник AMK, равен 5 - sqrt(19).