Для начала найдем высоту четырехугольной пирамиды. Так как апофема (высота боковой грани) равна 12 см, а боковое ребро равно 15 см, то примем, что этот треугольник - равносторонний.

Для равностороннего треугольника с боковым ребром 15 см, высота найдется с помощью формулы:

h = r * √3,

где r - радиус вписанной окружности (апофема),

h - высота.

Дано: r = 12 см.

h = 12 * √3 ≈ 20.8 см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды, а также ее объем.

Площадь боковой поверхности:

S = p * L / 2,

где p - периметр основания четырехугольной пирамиды (равного правильному треугольнику), L - боковое ребро.

Периметр равностороннего треугольника, описывающего основание четырехугольной пирамиды, равен:

P = 3 * a,

где a - сторона равностороннего треугольника.

С учетом равностороннего треугольника, a = 15 см. Таким образом, периметр P равен:

P = 3 * 15 = 45 см.

Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности:

S = 45 * 15 / 2 = 337.5 см².

Объем четырехугольной пирамиды:

V = S осн * h / 3,

где S осн - площадь основания четырехугольной пирамиды, h - высота пирамиды.

Поскольку четырехугольная пирамида строится над равносторонним треугольником, площадь основания равностороннего треугольника равна:

S осн = sqrt(3) / 4 a² = sqrt(3) / 4 15² ≈ 58.48 см².

Теперь рассчитаем объем пирамиды:

V = 58.48 * 20.8 / 3 ≈ 404.06 см³.

Таким образом, площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды равна 337.5 см², а ее объем составляет около 404.06 см³.