Для исследования монотонности и экстремумов функции y=x-e^x сначала найдем ее производную:

y' = 1 - e^x

Для определения монотонности функции найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

1 - e^x = 0
e^x = 1
x = ln(1)
x = 0

Таким образом, точка x = 0 является точкой экстремума функции. Чтобы определить характер экстремума, проанализируем знак производной в окрестности точки x = 0:

Для x < 0: 1 - e^x > 0, следовательно, функция убывает на этом интервале.
Для x > 0: 1 - e^x < 0, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, точка x = 0 является точкой максимума функции y=x-e^x. Функция убывает при x < 0 и возрастает при x > 0.

Итак, мы исследовали монотонность и экстремумы функции y=x-e^x и определили, что у нее есть один максимум в точке (0,0).