Для решения этой задачи воспользуемся китайской теоремой об остатках.

Пусть искомое трехзначное число равно x.

По условию задачи имеем систему уравнений:
x ≡ 2 (mod 3),
x ≡ 1 (mod 5),
x ≡ 6 (mod 7).

Найдем решение данной системы уравнений.

1) Решим систему уравнений, начиная с первых двух уравнений:
x ≡ 2 (mod 3),
x ≡ 1 (mod 5).

Для этого воспользуемся обратным элементом.
По модулю 3 обратный элемент к числу 2 это 2, так как 2 2 ≡ 1 (mod 3).
По модулю 5 обратный элемент к числу 1 это 1, так как 1 1 ≡ 1 (mod 5).

Тогда найдем x по обратной теореме Китая:
x = (2 2 5 5 + 1 1 3 3) mod 15 = (100 + 9) mod 15 = 109 mod 15 = 4.
Таким образом, x ≡ 4 (mod 15).

2) Теперь добавим третье уравнение:
x ≡ 6 (mod 7).
Проверим, что x ≡ 4 (mod 15) и x ≡ 6 (mod 7) имеют общее решение.

Для этого пусть x = 4 + 15k.
Подставим x в уравнение x ≡ 6 (mod 7):
4 + 15k ≡ 6 (mod 7),
15k ≡ 2 (mod 7),
k ≡ 2 * 1 mod 7,
k ≡ 2 mod 7.

Таким образом, x = 4 + 15 * 2 = 34.

Ответ: искомое трехзначное число равно 34.