Пусть у нас есть некоторое натуральное число n. Рассмотрим число m = n^2. Мы знаем, что любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел. Представим число m = n^2 в виде произведения простых чисел:

m = p1^a1 p2^a2 ... * pk^ak

где p1, p2, ..., pk - простые числа, а a1, a2, ..., ak - их степени.

Теперь рассмотрим куб натурального числа:

n^3 = p1^(3a1) p2^(3a2) ... * pk^(3ak)

Для каждого i от 1 до k, найдем такое целое число bi, что 2bi <= 3ai < 2bi + 1. После этого рассмотрим число n^2 / (p1^(3b1) p2^(3b2) ... * pk^(3bk)).

Получим:

n^2 / (p1^(3b1) p2^(3b2) ... pk^(3bk)) = p1^(2c1) p2^(2c2) ... pk^(2ck)

где c1 = a1 - 3b1, c2 = a2 - 3b2, ..., ck = ak - 3bk. Очевидно, что 0 <= ci < 2 для любого i от 1 до k. Таким образом, мы представили число n^2 в виде произведения квадратов простых чисел.

Таким образом, любое натуральное число можно представить в виде частного от деления квадрата натурального числа на куб натурального числа.