Уравнение окружности, касающейся оси OX и проходящей через две точки M(—2, 1) и N(6, 5):
Так как окружность касается оси OX, то ее центр лежит на оси OX. Пусть центр окружности имеет координаты (a, 0).
Тогда радиус окружности равен r = |a - (-2)| = |a + 2|.
Также уравнение окружности должно проходить через точки M и N, что соответствует уравнению:
(a + 2 - 6)^2 + (1 - 5)^2 = (a + 2 + 2)^2
(-4)^2 + (-4)^2 = (a + 4)^2
16 + 16 = a^2 + 8a + 16
32 = a^2 + 8a
a^2 + 8a - 32 = 0
(a + 4)(a - 8) = 0
a = -4 или a = 8
Таким образом, уравнение окружности имеет вид:
(a) (x - a)^2 + (y - 0)^2 = (a + 2)^2
-4: (x + 4)^2 + y^2 = 2^2
8: (x - 8)^2 + y^2 = 10^2

Уравнение окружности, проходящей через три точек P(-2, —2), Q (6, 2), R(4, 6):
Уравнение окружности можно записать в виде:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Где (h, k) - это координаты центра окружности, а r - радиус.
Подставим координаты точек P, Q, R в уравнение окружности:
(-2 - h)^2 + (-2 - k)^2 = r^2
(6 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2
(4 - h)^2 + (6 - k)^2 = r^2
Таким образом, получаем систему уравнений, решив которую найдем уравнение искомой окружности.

Уравнение геометрического места точек плоскости:
Для каждой точки в плоскости (x, y) сумма расстояний до точек F1 и F2 равна 10. Это означает, что:
| x + 3 | + | x - 3 | = 10
Получаем два уравнения: x + 3 + x - 3 = 10 и x + 3 - x + 3 = 10
Таким образом, получаем x = 3 и x = -3.
Следовательно, геометрическое место точек - это две вертикальные прямые, проходящие через точки F1 и F2 и находящиеся на расстоянии 10 друг от друга.