Для нахождения предела данной функции при x стремящемся к 0, можно воспользоваться правилом Лопиталя.

lim x->0 (ln(1+2x))/(arctan^2(3x))

Производная от ln(1+2x) равна 2/(1+2x), производная от arctan^2(3x) равна 6/(1+(3x)^2).

lim x->0 (ln(1+2x))/(arctan^2(3x)) = lim x->0 2/(1+2x) / 6/(1+(3x)^2) = lim x->0 (2/(1+2x)) * ((1+(3x)^2)/6) = 2/6 = 1/3

Таким образом, искомый предел равен 1/3.