Радиус сферы равен 5, следовательно, радиус окружности, описанной около прямоугольного параллелепипеда, равен 5.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда состоит из площадей его шести граней: двух оснований и четырех боковых сторон.

Площадь одного основания равна площади круга с радиусом 5, то есть S1 = πr^2 = 25π.

Площадь одной боковой стороны равна произведению длины и высоты прямоугольника, возьмем его за b и h. Так как радиус описанной окружности равен 5, то из подобия треугольников следует, что диагональ параллелепипеда равна 10, а боковые стороны b и h могут быть представлены как катеты прямоугольного треугольника, то есть b^2 + h^2 = 10^2. Так как объем прямоугольного параллелепипеда описанного около сферы равен 5π, то bhr = 5π.

Решив систему уравнений, найдем b и h.

b*h = 5π/r = 5π/5 = π.

Площадь одной боковой стороны равна площади прямоугольника с длиной 1 и шириной π, то есть S2 = b*h = π.

Итак, общая площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна S = 2S1 + 4S2 = 2*25π + 4π = 50π + 4π = 54π.

Таким образом, площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы радиуса 5, равна 54π.