1) Сначала найдем угол при основании:
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к катету, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника.
Таким образом, угол при основании равен углу прямоугольного треугольника, который имеет катет 6 и гипотенузу 12.
Используем теорему Пифагора: $\sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6 \sqrt{3}$

2) Найдем длину катета треугольника:
Так как треугольник равнобедренный, то катеты равны между собой. Таким образом, длина катета равна $6 \sqrt{3}$.

3) Найдем расстояние от катета до центра описанной окружности:
Расстояние от катета до центра описанной окружности равно половине длины основания треугольника. Таким образом, расстояние равно $6$.

4) Найдем длину биссектрисы к катету треугольника:
Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса к одному из углов, прилежащих к основанию, является медианой и высотой к этому же углу, а также является биссектрисой. То есть, биссектриса равна высоте треугольника, которая равна $6$.