Ваше объяснение интеграла как "декларации о принадлежности производной к семейству функций" весьма интересно. Действительно, интеграл функции выражает обратную операцию к взятию производной, и его формулировка может быть рассмотрена как утверждение о том, что данная функция является производной другой функции (с добавлением постоянного члена). Таким образом, интеграл может быть рассмотрен как общий формат для вычисления площадей, объемов, работы и других физических и математических величин, а также как способ нахождения исходной функции по её производной.

Можно сказать, что интеграл действительно представляет собой общий принцип или декларацию, описывающую связь между двумя основными операциями в математике - производной и интегралом.