Для начала построим график этой функции:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = x*3 + 6x*2 + 9x

plt.plot(x, y)
plt.title("График функции y=x^3+6x^2+9x")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.show()

Теперь проанализируем функцию:

y = x^3 + 6x^2 + 9x = x(x^2 + 6x + 9) = x(x+3)^2

Функция имеет корень в x=0 и убывает при x<0, возрастает при x>0. Минимум функции достигается при x=-3.

Таким образом, в результате исследования данной функции, мы построили её график, найден корни и точку минимума.