2. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(1 + 2,1,1) B(1, 1 + 2,1) C(1,1,1+2) D(0,0,0) Найдите: а) длину вектора AB ; б) объем пирамиды; в) длину высоты h, опущенной из вершины D на основание ABC. В условиях предыдущей задачи найти: Г) уравнение плоскости ABC$ Д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на основание; Ж) точку пересечения этой высоты с основанием.
а) Длина вектора AB: AB = 1−1,1−1,1−11-1, 1-1, 1-11−1,1−1,1−1 = 0,1,00,1,00,1,0
|AB| = √02+12+020^2 + 1^2 + 0^202+12+02 = 1
б) Объем пирамиды: По формуле объема пирамиды V = 1/3 S h, где S - площадь основания, h - высота. Площадь основания ABC = 1/2 |AB| |AC| = 1/2 1 sqrt222 = sqrt222/2 Высота пирамиды h = |AD| = √12+12+121^2 + 1^2 + 1^212+12+12 = √3 V = 1/3 sqrt222/2 √3 = √6 / 6
в) Длина высоты h, опущенной из вершины D на основание ABC: h = |AD| = √12+12+121^2 + 1^2 + 1^212+12+12 = √3
Г) Уравнение плоскости ABC: Найдем векторное произведение векторов AB и AC: n = AB x AC = 1,0,11,0,11,0,1 => уравнение плоскости ABC: x + z = 2
Д) Уравнение высоты, опущенной из вершины D на основание: Уравнение прямой - это векторное уравнение, которое можно записать следующим образом: r = D + t ABxACAB x ACABxAC = 0,0,00,0,00,0,0 + t 1,0,11,0,11,0,1 = t,0,tt,0,tt,0,t
Ж) Точка пересечения высоты с основанием: Подставим уравнение прямой в уравнение плоскости ABC: t + t = 2 t = 1 Точка пересечения: 1,0,11,0,11,0,1
а) Длина вектора AB:
AB = 1−1,1−1,1−11-1, 1-1, 1-11−1,1−1,1−1 = 0,1,00,1,00,1,0 |AB| = √02+12+020^2 + 1^2 + 0^202+12+02 = 1
б) Объем пирамиды:
По формуле объема пирамиды V = 1/3 S h, где S - площадь основания, h - высота.
Площадь основания ABC = 1/2 |AB| |AC| = 1/2 1 sqrt222 = sqrt222/2
Высота пирамиды h = |AD| = √12+12+121^2 + 1^2 + 1^212+12+12 = √3
V = 1/3 sqrt222/2 √3 = √6 / 6
в) Длина высоты h, опущенной из вершины D на основание ABC:
h = |AD| = √12+12+121^2 + 1^2 + 1^212+12+12 = √3
Г) Уравнение плоскости ABC:
Найдем векторное произведение векторов AB и AC:
n = AB x AC = 1,0,11,0,11,0,1 => уравнение плоскости ABC:
x + z = 2
Д) Уравнение высоты, опущенной из вершины D на основание:
Уравнение прямой - это векторное уравнение, которое можно записать следующим образом:
r = D + t ABxACAB x ACABxAC = 0,0,00,0,00,0,0 + t 1,0,11,0,11,0,1 = t,0,tt,0,tt,0,t
Ж) Точка пересечения высоты с основанием:
Подставим уравнение прямой в уравнение плоскости ABC:
t + t = 2
t = 1
Точка пересечения: 1,0,11,0,11,0,1