Для вычисления массы дуги кривой у = ln(x) с плотностью, заданной как у(x) = x², используем формулу для криволинейного интеграла первого рода:

M = ∫[a,b] ρ(x)√(1 + (dy/dx)²) dx

где ρ(x) - плотность, y(x) - уравнение кривой.

Подставляем значения в формулу:

M = ∫[√3,√8] x²√(1 + (1/x)²) dx

M = ∫[√3,√8] x²√(1 + 1/x²) dx

M = ∫[√3,√8] x²√(x² + 1) / x dx

M = ∫[√3,√8] x√(x² + 1) dx

M = [1/3(x² + 1)^(3/2)]|[√3,√8]

M = 1/3(9 + 1)^(3/2) - 1/3(3 + 1)^(3/2)

M = 1/3(10)^(3/2) - 1/3(4)^(3/2)

M = 1/3(100)^(1/2) - 1/3(64)^(1/2)

M = 1/3(10) - 1/3(8)

M = 10/3 - 8/3

M = 2/3

Таким образом, масса дуги кривой y = ln(x) с плотностью у(x) = x² на отрезке [√3,√8] равна 2/3.