Чтобы найти значение выражения ( 8 \sin \frac{\pi}{6} + \tan \frac{3\pi}{4} - \cot \frac{5\pi}{4} ), вычислим каждую из тригонометрических функций по отдельности.

Вычислим ( \sin \frac{\pi}{6} ):
[
\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}
]
Тогда:
[
8 \sin \frac{\pi}{6} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4
]

Вычислим ( \tan \frac{3\pi}{4} ):
Угол ( \frac{3\pi}{4} ) находится во втором квадранте, и ( \tan \frac{3\pi}{4} = -1 ).

Вычислим ( \cot \frac{5\pi}{4} ):
Угол ( \frac{5\pi}{4} ) находится в третьем квадранте, и ( \cot \frac{5\pi}{4} = -1 ).

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:
[
8 \sin \frac{\pi}{6} + \tan \frac{3\pi}{4} - \cot \frac{5\pi}{4} = 4 - 1 - (-1) = 4 - 1 + 1 = 4
]

Таким образом, значение выражения равно ( 4 ).