Чтобы решить полное квадратное уравнение вида ( ax^2 + bx + c = 0 ), где ( a ), ( b ) и ( c ) — это коэффициенты, можно воспользоваться формулой дискриминанта. Дискриминант ( D ) вычисляется по формуле:

[
D = b^2 - 4ac
]

В зависимости от значения дискриминанта уравнение имеет разные количества решений:

Если ( D > 0 ), то уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле:

[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}
]

Если ( D = 0 ), то уравнение имеет один двойной корень:

[
x = \frac{-b}{2a}
]

Если ( D < 0 ), то уравнение не имеет действительных корней (но два комплексных).

Пример: Решим уравнение ( 2x^2 + 3x - 2 = 0 ):

Находим дискриминант:

[
D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25
]

Так как ( D > 0 ), находим два корня:

[
x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
]

[
x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2
]

Таким образом, корни уравнения: ( x_1 = \frac{1}{2} ) и ( x_2 = -2 ).