Чтобы доказать, что углы $\angle A{A}_1{B}_1$ и $\angle AB{V}_1$ равны, мы воспользуемся свойствами углов и высот треугольника.

В треугольнике $ABC$ проведем высоты $A{A}_1$ и $B{B}_1$ из вершин $A$ и $B$ соответственно. Пусть $E$ — точка пересечения этих высот.

По определению, высота $A{A}_1$ перпендикулярна стороне $BC$, поэтому $\angle A_{1}EC=90^{\circ }$ и $\angle A_{1}EB=90^{\circ }$.

Аналогично, высота $B{B}_1$ перпендикулярна стороне $AC$, поэтому $\angle B_{1}EA=90^{\circ }$ и $\angle B_{1}EC=90^{\circ }$.

Теперь рассмотрим углы $\angle A{A}_1{B}_1$ и $\angle AB{V}_1$. Эти углы образуются по следующим причинам:

Угол $\angle A{A}_1{B}_1$ равен углу между высотой $A{A}_1$ и линией $A_1{B}_1$.Угол $\angle AB{V}_1$ равен углу между линией $AB$ и высотой $B{B}_1$.

Теперь мы будем рассматривать два треугольника: треугольник $AE{B}_1$ и треугольник $A_{1}EB$.

Углы $\angle A_{1}EB$ и $\angle A_{1}E{B}_1$ равны $90^{\circ }$ $таккак(A_{1}E)перпендикулярнолинии(BC)$.Углы $\angle BAE$ и $\angle AB{E}_1$ равны по теореме о вертикальных углах.

Мы видим, что по свойству равных вертикальных углов и добавлению углов, углы $\angle A{A}_1{B}_1$ и $\angle AB{V}_1$ образуют равные углы.

Объединяя все вместе, получаем, что $\angle A{A}_1{B}_1=\angle AB{V}_1$, что и требовалось доказать.